Bitácora de las Matemáticas -Aprendamos Juntos-: mayo 2025

viernes, 2 de mayo de 2025

MÉTODO DE ASIGNACIÓN

Es un método en el que los recursos se asignan a las actividades en términos de 1 a 1. La matriz debe de ser cuadrada de manera que cada recurso debe asignarse de modo único a una actividad particular o asignación.

EJEMPLO:

Se necesita procesar 4 diferentes tareas para lo cual se cuentan con 4 máquinas. Por diferencias tecnológicas el desperdicio que se produce depende del tipo de tarea y la máquina en la cual se ejecuta, dada la matriz de desperdicios expresada en quetzales. Definir la asignación óptima.

PASO # 1: Verificar que todas las casillas tengan un costo. De no poseer un costo colocar 0 (cero)

PASO # 2: Determinar si la tabla, está balanceada, eso quiere decir: m = n (m = rengloes o filas / n = Columnas). De no ser igual agregar filas o columnas necesarias con costo 0 (cero).

PASO # 3: Elegir el menor valor de cada fila y restarlo de los demás.

PASO # 4: Elegir el menor valor de cada columna y restarlo de los demás.

PASO # 5: Se procede a trazar el menor número de líneas posibles (horizontales y verticales), de modo que todos los 0 (ceros) queden tachados.

PASO # 6: Se contesta la pregunta el número de líneas es igual al orden de la matriz. Si la respuesta es NO, realizar el paso 7 nuevamente, si la respuesta es SI, realizar el paso # 8.

En este caso nuestra respuesta es: NO.

PASO # 7: Seleccionar el menor valor no tachado de toda la matriz. Ese valor restarlo de todo elemento no tachado y sumarlo a los elementos de intersección entre líneas.

Repetir los pasos 5 y paso 6

PASO # 8: Para dar la solución debemos de asignar a cada tarea una máquina en donde exista un 0 (cero) en su intersección tomando el costo mínimo inicial.

jueves, 1 de mayo de 2025

MÉTODO MODI

Es un método para revisar y validar la solución óptima de l os 3 métodos anteriores. Es el mejor análisis, es aplicarlo después de determinar la solución que proporciona, el método de vogel. Este método se utiliza para determinar la solución óptima de transporte.

PASO # 1: Para cada una de las celdas asignadas se debe formar una ecuación con la siguiente forma

PASO # 2: Se resuelven las ecuaciones para todas las variables, asignado a X1 = 0 (cero)

PASO # 3: Se evalúan todas las celdas que no estén asignadas con la formula.

PASO # 4: Se busca en los resultados de la evaluación anterior si existen resultados negativos; de existir valores negativos, se elije el valor más negativo y se le denomina "Celda de entrada". Si existen números negativos indica que el costo total de transporte obtenido se puede mejorar.

PASO # 5: Construyó un circuito cerrado que comienza y termina con la variable de entrada. Cada esquina del circuito cerrado debe coincidir con una celda asignada. El circuito consiste solo en segmentos horizontales y verticales.

PASO # 6: Se elige la menor cantidad entre las variables asignadas cercanas a la variable de entrada y se resta o se suma a las variables que están en el circuito.

EJEMPLO VIDEO EXPLICATIVO:

MÉTODO MAV - VOGEL

PASO # 1 y PASO # 2: Son los mismos de los métodos anteriores.

PASO # 3: Se buscan los costos mínimos en cada fila y se restan, se colocan las diferencias ó penalizaciones. Se realizan lo mismo para columnas.

(10) (2) (10) (10) (7) (7) (7)

PASO # 4: Identificar el renglón columna con la penalización (diferencia más alta) y asignar tanto como sea posible a la variable con el costo mínimo en el renglón o columna seleccionada.

PASO # 5: Revisar si se asigno correctamente:

# Celdas asignadas = No Filas + No. Columnas - 1

6 = 3 + 4 - 1

6 = 6

PASO # 6: Calcular el Costo Total

(15*0)+(0*7)+(15*9)+(10*20)+(0*7)+(0*18) = Q.335.00

MÉTODO DE COSTO MÍNIMO

Es un procedimiento mucho más eficaz porque permite obtener un costo menor asociado de transporte. Se asigna el valor más grande posible a la variable con menor costo unitario de la tabla se tacha el renglón o columna satisfecho, repitiéndose este último procedimiento hasta tachar todas las columnas y/o renglones.

REALIZAR LOS PASOS 1 Y 2 DEL MÉTODO NOROESTE

PASO # 3: Buscar el valor del costo mínimo, renglón por renglón y anotarlo al finalizar la fila.

(0) (7) (0)

PASO # 4: Buscar el valor del costo mínimo columna por columna y anotarlo al finalizar la columna

(0) (0) (9) (11)

PASO # 5: Seleccionar de todos los valores anotados al final de cada fila y columna de cada costo. Si hubieran 2 o más iguales seleccionamos aquella fila o columna en donde la disponibilidad y/o requerimiento sean muy semejantes a fin de asignar la mayor cantidad posible a dicha casilla al menor costo. Importante: En este método no se puede eliminar fila y columna al mismo tiempo, se debe elegir una de las dos.

PASO # 6: Repetir los pasos 3, 4 y 5

PASO # 7: Para revisar que se asignó correctamente se realiza la siguiente verificación:

#Celdas asignadas = No Filas + No. Columnas -1

6 ⇒ 3+4-1

6 = 6

PASO # 8: Calcular el costo total del transporte

Costo Total = (15*0)+(0*7)+(15*9)+(10*20)+(5*0)+(18*0) = Q.335.00

MÉTODO DE TRANSPORTE - Método de Esquina NorOeste

Llevar unidades de un punto de origen, fuente o destino.

1. Método de Esquina NorOeste

2. Método Costó Mínimo

3. Método de Vogel

1. Método de Esquina NorOeste: Es el método más sencillo que se conoce para resolver problemas de transporte. Es el menos probable para dar una solución optima inicial porque ignora la magnitud relativa de los costos.

Ejemplo:

Tres fábricas (En Cobán, Zacapa y Salamá) producen materia prima que desean transportar hacia plantas procesadoras de la misma empresa (2 en la ciudad de Guatemala y 2 en Quetzaltenango). Cada una de las fábricas productoras de materia prima pueden producir semanalmente 15, 25 y 5 toneladas de materia prima respectivamente. Las plantas procesadoras del producto requieren semanalmente 5, 15, 15 y 10 toneladas de materia prima respectivamente.

Calcule el costo óptimo del transporte utilizando los costos de la siguiente matriz (costo en Q. por tonelada).

PASO # 1: Verificar la existencia de una matriz de costos.

PASO # 2: Confirmar que la suma de disponibilidades sea igual a la suma de requerimientos. Si no fueran iguales debemos agregar una fila o columna con costos de transporte 0 (cero), (agregando una fila o columna con el nombre ficticia)

PASO # 3: Asignar la mayor cantidad posible de las disponibilidades y requerimientos para ir satisfaciendo cada fila y columna utilizando la esquina superior izquierda que este vacía (Esquina NorOeste)

PASO # 4: Calcular el Costo Total

COSTO TOTAL DE TRANSPORTE

(5*10)+(10*0)+(5*7)+(15*9)+(5*20)+(5*18) = Q.410.00

PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO SIMPLEX

Es un método por medio del cual pueden optimizarse resultados de producción, utilidades, costos, ventas, ingresos, etc.

Desde el punto de de la Administración de Empresas es un instrumento de mucha aplicación, ya que permite efectuar pronósticos más efectivos y toma de decisiones mucho más eficaces.

VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO:

Una empresa produce dos líneas de artículos manufacturados: La línea Esplendor que genera una utilidad de Q.50.00 por unidad y el Anochecer que genera una ganancia de Q.35.00. La empresa se enfrenta a una gran demanda, pero sus limitaciones (restricciones) son:

a)Mano de obra calificada solo 24 horas por semana

b)Fragancias especiales, sólo 16 galones semanales y

c)Tiempo de laboratorio, 9 horas semanales.

Un artículo de la línea Esplendor requiere de 3 horas de mano de obra calificada, un galón de fragancias especiales y una hora de laboratorio. En tanto que un artículo de la línea anochecer requiere de dos horas de mano de obra especializada, dos galones de fragancias especiales y una hora de laboratorio. Determinar la mezcla óptima de producción que genere la máxima ganancia.

PASO # 1: Establecer función de objetivo:

PASO # 2: Identificar y definir las restricciones ó limitantes

PASO # 3: Igualar la función objetivo a 0(cero)

PASO # 4: Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando una variable de holgura (h)

PASO # 5: Construir la tabla SIMPLEX

PASO # 6: Se identifica la columna Pivote (se identifica el elemento más negativo de la fila Z)

PASO # 7: Se identifica la fila Pivote (se identifica dividiendo cada valor de "C" con la columna pivote)

Nuestra fila pivote la definiremos con el resultado menor que tengamos de todas las divisiones de los elementos de la C con los elementos de la columna pivote, en ese ejemplo el resultado menor es 8

PASO # 8: Determinar el elemento Pivote. Es el elemento de intersección entre la Fila y Columna Pivote.

PASO # 9: Se inicia la reducción de Renglones en base al procedimiento de transformaciones elementales (reducción de renglones vista en el método de Matriz Inversa. Convertir el elemento Pivote a 1, y todos los elementos debajo y encima de el deben de convertirse a cero.

PASO 2: De la tabla obtenida en el paso anterior convertir todos los elementos que están por debajo o por encima del elemento pivote a cero, para este caso, se deben convertir a cero los unos que están en la fila h2, h3 y Zmax.

PASO 3: De la tabla obtenida en el paso anterior, convertir los elementos que están por debajo o por encima del elemento pivote a cero, para este caso, se deben convertir a cero los unos que están en la fila h3.

PASO 4: Convertir el -50 que esta en la fila Zmax a cero, para este caso sumar la fila de Zmax con 50 veces la fila h1=X, la ecuación por aplicar en este caso es Zmax+50h1

PASO # 10: Al terminar la reducción de renglones indicado en el inciso 9, verificar si la fila Z posee solo valores positivos o ceros. Si esto se cumple, pase al inciso 11. De lo contrario repita los pasos 6,7,8 y 9 hasta que todos los elementos de la fila Z sean positivos o cero.

Para este caso en la tabla resultante del paso 9, tenemos un valor negativo en la fila Zmax que es -5/3, por lo que debemos repetir los pasos 6,7,8 y 9 hasta dejar todos los valores de Zmax como positivos o ceros.

PASO # 11: Al finalizar el procedimiento se comprueban las operaciones utilizando la Función Objetivo, sustituyendo los valores encontrados para cada variable en la tabla simplex.